22:42

Bergfahrt

Die Ausgangssituation

Gegeben sei

• Ein Berg der Länge 1500 m
• Mit einem Höhengewinn von 75 m
• Einer durchschnittlichen Steigung von 5% und einer Maximalsteigung von ca. 15%
• Einem Radfahrer mit einem Systemgewicht von 100 kg
• Auf einem Trekkingrad mit 44:30:25er Kurbel und einer 32:11er Kassette

Gesucht

• Mit welcher Geschwindigkeit müsste dieser Radfahrer dem Berg befahren unter folgenden Annahmen befahren?
• einer durchschnittlichen Sportlichkeit (nach Feierabend) 200 bis 250 W
• einer gesunden Trittfrequent von 80 U/min
• Und schlussendlich ist die Frage:
• Ist das mit gegebenen Fahrrad möglich?
• Bzw. welche Übersetzungen müsste das Fahrrad haben?

Der Antrieb

Laut Entfaltungsrechner ist mit gegeben Schaltwerk eine Minimalgeschwindigkeit von 8,4 km/h möglich.

 25-30-44 / 11-12-13-14-16-17-20-22-26-32X

25/32	8.4
25/26	10.3
25/22	12.1
25/20	13.4
25/17	15.7
25/16	16.7
25/14	19.1
30/26	12.3
30/22	14.6
30/20	16.1
30/17	18.9
30/16	20.1
30/14	22.9
30/13	24.7
30/12	26.8
44/20	23.6
44/17	27.7
44/16	29.4
44/14	33.6
44/13	36.2
44/12	39.3
44/11	42.8

Leistungsüberlegung

Die Leistung, die der Radfahrer aufbringen muss, setzt sich wie in dieser Überlegung gezeigt, zusammen aus den Leistungen zur Überwindung von Rollwiderstand, Luftwiderstand, Steigungswiderstand und mechanischem Widerstand.

Berechnung der notwendigen Leistung für die gegebenen Minimalgeschwindigkeit von 8,4 km/h bzw. 2,33 m/s.

Rollwiderstand

Pr = c1 * m * g * v 

Pr = 0,004  * 100 kg * 9,81 m/s² * 2,33 m/s = kg m² / s³ = 9,1 W

Die benötigte Leistung zur Überwindung des Rollwiderstandes beträgt bei der relativ geringen Geschwindigkeit nur ~10 W.

Luftwiderstand

Pw = 0,5 * ρ * cdA * v * (v-vw)² 

Pw = 0,5 * 1,205 kg / m³ * 0,3 m² * (2,33 m/s)³ = 2,3 W

Die benötigte Leistung zur Überwindung des Luftwiderstandes ist - da die Geschwindigkeit hier mit der dritten Potenz eingeht - wie zu erwarten mit 2,3 W sehr gering.

Steigungswiderstand

Pc = (i/100) * M * g * v

Pc = 0,15 * 100 kg + 9,81 m/s² * 2,33 m/s = 342,9 W

Die benötigte Leistung zur Überwindung der Steigung trägt mit 343 W - wie zu erwarten - den Löwenanteil bei.

Mechanischer Widerstand

Bisher werden als 9,1 + 2,3 + 343 W = 354,3 W benötigt. Der Wirkungsgrad des Antriebes wird mit 95% angenommen - demzufolge kommen also noch 17 W "Reibung" dazu und die benötigte Gesamtleistung liegt bei 373 W.

Zwischenfazit

373 W sind durchaus leistbar - fordern aber an einem durchschnittlichen Mittwochabend zu viel Motivation.

Daher

Gesucht ist also die Geschwindigkeit, bei der die Gesamtleistung nur 250 W (bzw. 200 W, damit noch Reserve für Einkaufsgepäck drin ist) beträgt.

Für die umgestellte Formel 200 W >= (151 km/s²*v + 0,18 kg/m*v³)/0,95 ergeben sich für diese Geschwindigkeiten folgende Leistungswerte

• 2,33 m/s besagte 373 W
• 2 m/s => 320 W
• 1,5 => 240 W
• 1,33 m/s => 212 W
• 1,25 m/s => 200 W
• 1 m/s => 160 W
• Bzw. als Graph (siehe GeoGebra)
  

Gesucht ist also eine Übersetzung, bei der man mit 80 U/min 1,25 m/s fahren kann - bzw. 4,5 km/h.

Der Plan

Das Ziel ist also, das Übersetzungsverhältnis so zu ändern, dass eine Geschwindigkeit von 4,5 km/h bei einer Trittfrequenz von 80 U/min möglich ist.

Schritt 1: 25 -> 22

Tauscht man das 25er Kettenblatt vorn gegen ein 22er aus, kann die Minimalgeschwindigkeit laut Entfaltungsrechner von 8,4 km/h auf 7,3 km/h gesenkt werden. Schon mal nicht schlecht.

22-30-44 / 11-12-13-14-16-17-20-22-26-32X

22/32	7.3
22/26	9.1
22/22	10.7
22/20	11.8
22/17	13.9
22/16	14.7
22/14	16.8
30/26	12.3
30/22	14.6
30/20	16.1
30/17	18.9
30/16	20.1
30/14	22.9
30/13	24.7
30/12	26.8
44/20	23.6
44/17	27.7
44/16	29.4
44/14	33.6
44/13	36.2
44/12	39.3
44/11	42.8

Schritt 2: 32 -> 42

Laut Entfaltungsrechner ist mit dem 22er Kettenblatt vorn und einem 42er Ritzel hinten (statt dem 32er) sogar eine Minimalgeschwindigkeit von 5,6 km/h möglich.

  22-30-44 / 11-13-15-18-21-24-28-32-37-42X

22/42	5.6
22/37	6.4
22/32	7.3
22/28	8.4
22/24	9.8
22/21	11.2
22/18	13.1
30/37	8.7
30/32	10
30/28	11.5
30/24	13.4
30/21	15.3
30/18	17.9
30/15	21.4
30/13	24.7
44/28	16.8
44/24	19.6
44/21	22.4
44/18	26.2
44/15	31.4
44/13	36.2
44/11	42.8

Das sind zwar noch keine 4,5 km/h aber das ist nahe genug dran. 5,6 km/h sind 1,56 m/s, was gut 240 Leistung entspricht. Das ist zwar mehr, als das angestrebte Ziel, aber weniger ist baulich mit einem 28er Rad nicht drin. Zur Not muss dann eben die Trittfrequenz doch auf 70 U/min gesenkt und ein bisschen mehr geschwitzt werden. 

Man sieht in der Grafik schön, dass 

• dass das 22er Blatt vorn in Kombination mit dem alten größten 32er Ritzel "einen Gang" Verbesserung bringt (7,3 km/h)
• das 36er Ritzel hinten einen weiteren Gang bringt (6,4 km/h)
• und dann das 42er noch einen weiteren Gang Verbesserung bringt (5,6 km/h)

Der Umbau

Das 22er Blatt vorn war schnell getauscht. Als kompatibel zur bestehenden Kurbel hat sich das Shimano Deore XT FC-M782 herausgestellt. Mit ~13 € eine überschaubare Investition. Dank der SM-BB52 Lagerschalen waren die Kurbeln fix mit einem Innensechskant abgeschraubt und die Kurbel entnommen. Das Kettenblatt war mit dem Wechsel der vier Schrauben auch in kurzer Zeit getauscht. Den nunmehr etwas größeren Sprung vom 22er auf das 30er Kettenblatt merkt man zwar, ist aber im grünen Bereich - die Kette wechselt verlässlich ihre Bahn. 

Als Kassette mit 42er Ritzel fiel die Wahl auf das Shimano Deore CS-M4100. Im Direktvergleich schon ein beeindruckendes Stück.

Allerdings war das große 42er Ritzel zu viel für das bestehende Schaltwerk und erforderte daher auch ein Upgrade auf ein Schaltwerk mit SHIMANO SHADOW RD+ Technologie - in dem Fall das Deore RD-M6000-GS Schaltwerk - mittellang.

In Summe deckt das Schaltsystem jetzt Übersetzungsspektrum von beeindruckenden 764% ab - nun ruft er wieder, der Berg :-)